數學是什麼？（What is mathematics?）

國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

何謂數學？這個問題的答案隨著數學的發展歷程，而有了越來越豐富的說法。目前，數學家較有共識的答案是：數學是一種研究模式（pattern）的科學。

考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程，到公元前500年左右為止，數學的確是有關數目（number）的一種學問。在這些文明中，數學所包括的，幾乎都以算術（arithmetic）為主。它大部分屬功利取向，而且充滿了「食譜」的特色（譬如，「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」）

從大約公元前500年到公元300年的這一時期，是希臘數學的時代。古希臘的數學家主要關心幾何學（geometry），而且訴諸於嚴密推理與形式證明，建立牢固的數學知識結構。誠然，他們按幾何方式，將數目視為線段長之度量，而當他們發現有數目缺乏對應的線段長時，有關數目的研究就停頓下來了。對於希臘人而言，由於他們強調幾何學，所以，數學不只研究數目，而且也是有關形狀（shape）的學問。

到了十七世紀，微積分就實質來說，是研究運動（motion）和變化（change）的一門學問。在此之前的數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態議題。現在，引進了處理運動和變化的方法之後，數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、機械裝置的運作、液體的流動、氣體的擴散、如電力和磁力等物理力、飛行、動植物的生長、流行病的傳染、利潤的波動等等自然現象。在牛頓和萊布尼茲之後，數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間（space）的一門學問。

顯然，十七世紀大部分涉及微積分的初始問題，都導向物理研究；事實上，該時期很多偉大的數學家也被視為物理學家。不過，從大約十八世紀中葉之後，當數學家著手瞭解微積分為人類帶來的巨大力量背後是什麼，他們對於數學知識本身有著遞增的興趣，而不只是關注它的應用而已。因此，當傳至今日的一大部分純數學被發展的時候，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握了優勢。到了十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間（space）、以及研究數學的工具的一門學問。

在大約最近的四十年間，一個被大部分數學家所同意的「何謂數學」之說法，又出現了：數學是研究模式的一門科學（science of patterns）。數學家的所作所為，就是去檢視抽象的模式－ 數值模式、形狀的模式、運動的模式、行為的模式、全國人口的投票模式、重複機會事件（repeating chance events）的模式等等。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的週遭世界、源自空間和時間的深度，或者源自人類心靈的內部運作。不同種類的模式當然引出不同的數學分支，譬如說吧：

‧ 算術與數論研究數目與計算模式。
‧ 幾何學研究形狀模式。
‧ 微積分允許我們處理運動模式。
‧ 邏輯學研究推論模式。
‧ 機率論處理機會模式。
‧ 拓樸學研究鄰近（closeness）與位置（position）模式。

由於數學的發展一日千里，有關「數學是什麼？」將來一定還會出現全新的說法，我們且拭目以待吧！不過，身為數學教師最重要的使命，莫過於思考這種新的說法如何可以融入教學情境，讓我們的下一世代及早擁有更好的數學適應能力。

參考書目:齊斯‧德福林 (2011).《數學的語言》，台北：商周出版社。
瑞赫德‧庫蘭特、賀伯斯‧羅賓斯、伊恩‧史都華 (2010/2011).《數學是什麼？》（上）（下），新北市：左岸文化出版社。